Giải mục 2 trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

Xét hai hàm số $y = {x^2},y = 2x$ và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị để trả lời.

Lời giải chi tiết:

* Hàm số $y = {x^2}$

Nhìn đồ thị ta thấy:

+ $y(1) = y( - 1) = 1,y(2) = y( - 2) = 4$

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.

* Hàm số $y = 2x$

Nhìn đồ thị ta thấy:

+ $y(1) =  - y( - 1),y(2) =  - y( - 2)$

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm O.

Thực hành 1

Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ.

Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$thì $- x \in D$và $f( - x) =  - f(x)$.

Lời giải chi tiết:

* Hàm số $y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$

Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

Với mọi $x \in \mathbb{R}$thì $- x \in \mathbb{R}$ và ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( { - x} \right) =  - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x$.

Vậy nên $y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ là hàm số lẻ.

* Hàm số $y = \cot x$

Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Với mọi $x \in \mathbb{R}$thì $- x \in \mathbb{R}$ và $\cot \left( { - x} \right) =  - \cot x$.

Vậy nên $y = \cot {\rm{x}}$ là hàm số lẻ.

Hoạt động 3

Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất

$\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha \end{array}$

Lời giải chi tiết:

Do $\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x$,$k \in \mathbb{Z}$.

$\Rightarrow \sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x$

Nên $T = 2\pi$.

Thực hành 2

Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\ne$0 sao cho với mọi $x \in D$ta có $x \pm T \in D$ và$f(x + T) = f(x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Lời giải chi tiết:

* Hàm số y = cosx

+ Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

+ Với mọi $x \in \mathbb{R}$ta có $x \pm 2\pi  \in D$ và$\cos (x + 2\pi ) = \cos (x)$

Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì $T = 2\pi$.

* Hàm số y = cotx

+ Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

+ Với mọi $x \in \mathbb{R}$ta có $x \pm \pi  \in D$ và$\cot (x + \pi ) = \cot (x)$

Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì $T = \pi$.