Giải mục 2 trang 27, 28 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 28 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x$. 

Lời giải chi tiết

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y' =  - 6{x^2} + 6x - 5 =  - 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{7}{2} \le  - \frac{7}{2}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  - \infty$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số $y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x$ với trục tung là $\left( {0;0} \right)$.

Ta có: $- 2{x^3} + 3{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow  - x\left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm $\left( {1; - 4} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y =  - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)$.