Giải mục 2 trang 32, 33, 34 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 32 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $\left[ {0;2\pi } \right)$.

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Phương pháp giải:

Nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y = \sin x$.

Lời giải chi tiết:

a) Từ Hình 1.19, ta thấy đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ cắt đường tròn tại 2 điểm M, M’. Ta có nghiệm của phương trình là: $\frac{\pi }{6}, - \frac{{5\pi }}{6}$.

b) Vì hàm số $\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ là $2\pi$, ta có công thức nghiệm của phương trình là: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

b) $\sin 3x =  - \sin 5x$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x = \pi  - \alpha  + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Áp dụng công thức cộng lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

b)

$\begin{array}{l}\sin 3x =  - \sin 5x\\ \Leftrightarrow \,\,\,\sin 3x + \sin 5x = 0\\ \Leftrightarrow \,\,\,2\sin 4x\cos x = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 4x = 0}\\{\cos x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 4x = \sin 0}\\{\cos x = \cos \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\frac{\pi }{4}}\\{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.$