Giải mục 5 trang 117, 118, 119 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 6

Hình dạng của các đô vật như hộp phân, lồng đèn, hộp quà, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, tìm ra các đặc điểm chung.

Lời giải chi tiết:

Các hình trên đều có một cặp mặt phẳng đối diện song song với nhau.

Hoạt động 7

Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) Bốn mặt bên và mặt đáy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành;

b) Các mặt $AA'C'C$ và $BB'D'D$là hình bình hành

c) Bốn đoạn thẳng $A'C,AC',B'D,BD$ có cùng trung điểm.

Phương pháp giải:

‒ Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau. Nếu $\left( R \right)$ cắt $\left( P \right)$ thì cắt $\left( Q \right)$ và hai giao tuyến của chúng song song.

‒ Sử dụng tính chất của hình lăng trụ.

‒ Sử dụng tính chất của hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lăng trụ nên có:

‒ Hai đáy $ABCD$ và $A'B'C'D'$ bằng nhau và là hình bình hành.

‒ Các mặt bên $AA'B'B,AA'D'D,BB'C'C,CC'D'D$ là các hình bình hành.

b) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AC\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel A'C'$

Mà $AA'$ và $CC'$ là các cạnh bên của hình lăng trụ nên $AA'\parallel CC'$

Vậy $AA'C'C$ là hình bình hành.

$\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = B{\rm{D}}\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}}\parallel B'D'$

Mà $BB'$ và $DD'$ là các cạnh bên của hình lăng trụ nên $BB'\parallel DD'$

Vậy $BB'D'D$ là hình bình hành.

c) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'B'\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel A'B'\left( 1 \right)$

$ABC{\rm{D}}$ là hình bình hành nên $AB = CD$

$AA'B'B$ là hình bình hành nên $AB = A'B'$

Vậy $A'B' = CD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $A'B'C{\rm{D}}$ là hình bình hành

$\Rightarrow A'C,B'D$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta có:

+ $ABC'D'$ là hình bình hành nên $AC',B{\rm{D}}'$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

+ $A'BCD'$ là hình bình hành nên $A'C,B{\rm{D}}'$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Do đó bốn đoạn thẳng $A'C,AC',B'D,BD$ có cùng trung điểm.

Thực hành 4

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và một mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến $MN,NP,PQ{\rm{,}}QR,RS,SM$ như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác $MNPQRS$ song song với nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau. Nếu $\left( R \right)$ cắt $\left( P \right)$ thì cắt $\left( Q \right)$ và hai giao tuyến của chúng song song.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MN\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = Q{\rm{R}}\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel Q{\rm{R}}$

$\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = NP\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = R{\rm{S}}\end{array} \right\} \Rightarrow NP\parallel R{\rm{S}}$

$\left. \begin{array}{l}\left( {AA'D'D} \right)\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'D'D} \right) = M{\rm{S}}\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {BB'C'C} \right) = PQ\end{array} \right\} \Rightarrow M{\rm{S}}\parallel PQ$

Vận dụng 3

Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình lăng trụ, tìm các hình lăng trụ có các cặp mặt phẳng đối diện song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy là: Hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.