Lý thuyết Phép tính lũy thừa - Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

\({a^n} = \underbrace {a.a.a...a}_{n\,thừa\,số}\) \(\left( {a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*} \right)\).

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\); \({a^0} = 1\) \(\left( {n \in \mathbb{N}*,a \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\).

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên \(n \ge 2\).

- Số a là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\).

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu \(\sqrt[n]{b}\).

+ Nếu n chẵn thì:

• b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
• b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
• b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{b}\) và giá trị âm là \( - \sqrt[n]{b}\).

+ Các tính chất:

• \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\).
• \(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\).
• \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
• \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\).

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có:

\({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

4. Lũy thừa với số mũ thực

Giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) được gọi là lũy thừa của số thực dương a với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \({a^\alpha }\).

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(\alpha  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {r_n}\).

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; \(\alpha ;\beta \) là những số thực bất kì. Khi đó:

\(\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }};\\\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha  - \beta }};\\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }};\\{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha };\\{\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}.\end{array}\)