Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, đường thẳng d đi qua hai điểm A và C. Tìm bốn vecto có điểm đầu và điểm cuối trong các đỉnh của hình hộp đã cho và là vecto chỉ phương của d.

Giải:

Hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CA} \) có giá trị trùng với d, hai vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {C'A'} \) có giá song song với d (do AC // A′C′).

Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {CA} \), \(\overrightarrow {A'C'} \), \(\overrightarrow {C'A'} \).

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a  = (1; - 1;2)\).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Trong hai điểm A(3; −3; 3) và B(1; −1; 1), điểm nào thuộc d?

Giải:

a) Phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 2 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

b) Điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có giá trị t thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2 + t\\{y_0} =  - 2 - t\\{z_0} = 1 + 2t\end{array} \right.\).

Ta có:

Với A(3; −3; 3), ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}3 = 2 + t\\ - 3 =  - 2 - t\\3 = 1 + 2t\end{array} \right.\). Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất t = 1 nên A thuộc đường thẳng d.

Với B(1; −1; 1), ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 2 + t\\ - 1 =  - 2 - t\\1 = 1 + 2t\end{array} \right.\). Hệ phương trình này vô nghiệm nên B không thuộc d.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d, biết:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = ( - 1; - 4;3)\).

b) Đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y =  - 1 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Giải:

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

b)

Cách 1: Từ phương trình tham số của d, ta có đồ thị qua điểm M(2; −1; 3) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = ( - 1;2; - 3)\).

Suy ra, phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\).

Cách 2: Từ phương trình tham số của dd, tính theo x , y, z, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 2}}{{ - 1}}\\t = \frac{{y + 1}}{2}\\t = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\end{array} \right.\).

Vậy \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\). Đây là phương trình chính tắc của d.

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 2; -1) và B(3; -2; 2).

Giải:

Phương trình tham số của AB là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + (3 - 4)t\\y = 2 + ( - 2 - 2)t\\z =  - 1 + (2 + 1)t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 2 - 4t\\z =  - 1 + 3t\end{array} \right.\) \((t \in R)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

\(\frac{{x - 4}}{{3 - 4}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2 - 2}} = \frac{{z - ( - 1)}}{{2 - ( - 1)}}\) hay \(\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

2. Hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

d': \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y =  - 3 + 2t\\z = 4t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) và d’: \(\frac{{x - 9}}{2} = \frac{{y - 13}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Giải:

d và d’ lần lượt có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;2;4} \right)\;\) và \(\overrightarrow {a'}  = \left( {2;3; - 1} \right)\;\).

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}  =  - 2 + 6 - 4 = 0\) Suy ra \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow {a'} \). Vậy \(d \bot d'\).

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) hay d’:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 5 - 2t'\end{array} \right.\) \((t' \in R)\).

b) d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 + 3t\\z = 5 + t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) hay d’: \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\).

c) d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và d’: \(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).

Giải:

a) Ta có các vectơ chỉ phương của d và d′ lần lượt là \(\overrightarrow a  = (1;2; - 1)\) và \(\overrightarrow {a'}  = (2;4; - 2)\).

Vì \(\overrightarrow {a'}  = 2\overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) cùng phương. Từ đó suy ra d và d′ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm \(M\left( {1;0;3} \right) \in d\), ta có \(M \notin d'\) nên d//d′.

b) Ta có d và d′ lần lượt nhận \(\overrightarrow a  = \left( {2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow {a'}  = \left( {3;2;2} \right)\;\) là các vectơ chỉ phương.

Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương nên d và d′ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Có d′ đi qua M(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = \left( {3;2;2} \right)\) nên có phương trình tham số là d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y =  - 2 + 2t'\\z =  - 1 + 2t'\end{array} \right.\) \((t' \in R)\).

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = 1 + 3t'\\ - 1 + 3t =  - 2 + 2t'\\5 + t =  - 1 + 2t'\end{array} \right.\) ta không tìm được giá trị t, t’ thỏa mãn cả ba phương trình của hệ. Ta suy ra hệ trên vô nghiệm.

Vậy d và d’ chéo nhau.

c) Ta có: d đi qua M(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

d′ đi qua M′(1; 2; −2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (5;1; - 2)\).

Nên phương trình tham số của d và d′ lần lượt là:

d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) và d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t'\\y = 2 + t'\\z =  - 2 - 2t'\end{array} \right.\) \((t' \in R)\).

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 1 + 5t'\\1 - t = 2 + t'\\2t =  - 2 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 5t' = 1\\ - t - t' = 2\\2t + 2t' =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \frac{2}{3}\\t' =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên d và d’ cắt nhau.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

d': \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y =  - 3 + 2t\\z = 4t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) và d’: \(\frac{{x - 9}}{2} = \frac{{y - 13}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Giải:

d và d’ lần lượt có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;2;4} \right)\;\) và \(\overrightarrow {a'}  = \left( {2;3; - 1} \right)\;\).

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}  =  - 2 + 6 - 4 = 0\) Suy ra \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow {a'} \). Vậy \(d \bot d'\).