Bài tập trắc nghiệm Toán 7 - Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H.$ Chọn câu đúng.

A

$AB + AC > HA + HB + HC$
B

$AB + AC < HA + HB + HC$
C

$AB + AC = HA + HB + HC$
D

$AB + AC \le HA + HB + HC$

Cho tam giác $ABC$ có: $\widehat B + \widehat C = {60^0}.$ Trên đường phân giác $AD$ của góc $A$ lấy điểm $I.$ Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $F$ sao cho $AF = AI.$ Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AE = AI.$

Câu 2

Chọn câu đúng nhất.

A.

$AB$ là đường trung trực của đoạn $IE.$
B.

$AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $IF$
C.

$\Delta EAI$ cân tại $A$ .
D.

Cả A, B, C đều đúng.

Câu 3

Tam giác $IEF$ là tam giác gì?

A.

Tam giác vuông
B.

Tam giác vuông cân
C.

Tam giác đều
D.

Tam giác tù

Câu 4

Chọn câu sai.

A.

$AB$ là đường trung trực của đoạn $IE.$
B.

$AC$ là đường trung trực của đoạn $IF.$
C.

$\Delta EAI$ cân tại $A$ .
D.

$\Delta EAI$ cân tại $I$ .

Câu 5

Tam giác $IEF$ là tam giác gì?

A.

Tam giác vuông
B.

Tam giác vuông cân
C.

Tam giác đều
D.

Tam giác tù

Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $BE;CF$ cắt nhau tại $H.$ Gọi $I$ là trung điểm đoạn $AH$ và $K$ là trung điểm cạnh $BC.$

Câu 6

Tính số đo góc $\widehat {IFK}.$

A.

$\widehat {IFK} = {60^o}$
B.

$\widehat {IFK} = {90^o}$
C.

$\widehat {IFK} = {70^o}$
D.

$\widehat {IFK} = {80^o}$

Câu 7

Biết $AH = 6cm,BC = 8cm.$ Tính $IK.$

A.

$IK = 3\,cm$
B.

$IK = 4\,cm$
C.

$IK = 5\,cm$
D.

$IK = 6\,cm$

Câu 8 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của $\Delta ABH$ , $\Delta ACH$ , E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.

A

$\Delta ABE$ là tam giác vuông tại E
B

$\Delta ABE$ là tam giác vuông tại A.
C

$\Delta ABE$ là tam giác vuông tại B.
D

$\Delta ABE$ là tam giác đều

Cho tam giác nhọn $ABC$ có hai đường cao $AH$ và $BK$ cắt nhau tại $D.$

Câu 9

Biết $\widehat {ACB} = 50^\circ$ , tính $\widehat {HDK.}$

A.

${130^0}$
B.

${50^0}$
C.

${60^0}$
D.

${90^0}$ .

Câu 10

Nếu $DA = DB$ thì tam giác $ABC$ là tam giác

A.

Cân tại $A.$
B.

Cân tại $B.$
C.

Cân tại $C.$
D.

Đều.

Câu 11 :

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó $\Delta MED$ là tam giác gì?

A

Tam giác cân
B

Tam giác vuông cân
C

Tam giác vuông
D

Tam giác đều.

Câu 12 :

Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$ $\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo $\widehat {AEB}$

A

${30^0}$
B

${45^0}$
C

${60^0}$
D

${90^0}$ .

Cho $\Delta ABC$ nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho $BI = AC$ . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho $CK = AB.$

Câu 13

Chọn câu đúng.

A.

$AI > AK$
B.

$AI < AK$
C.

$AI = 2AK$
D.

$AI = AK$

Câu 14

$\Delta AIK$ là tam giác gì?

A.

$\Delta AIK$ là tam giác cân tại B.
B.

$\Delta AIK$ là tam giác vuông cân tại A.
C.

$\Delta AIK$ là tam giác vuông
D.

$\Delta AIK$ là tam giác đều

Câu 15 :

Đường cao của tam giác đều cạnh $a$ có bình phương độ dài là

A

$\dfrac{{3{a^2}}}{4}.$
B

$\dfrac{{{a^2}}}{4}.$
C

$\dfrac{{3{a^2}}}{2}.$
D

$\dfrac{{3a}}{2}.$

Câu 16 :

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$

A

$AB = AC = 13cm$
B

$AB = AC = 14cm$
C

$AB = AC = 15cm$
D

$AB = AC = 16cm$ .

Câu 17 :

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến khi đó

A

$AM \bot BC$
B

$AM$ là đường trung trực của $BC$
C

$AM$ là đường phân giác của góc $BAC.$
D

Cả A, B, C đều đúng.

Câu 18 :

Cho $\Delta ABC$ , hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:

A

$H$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ .
B

$H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ .
C

$CH$ là đường cao của $\Delta ABC$ .
D

$CH$ là đường trung trực của $\Delta ABC$ .

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H.$ Chọn câu đúng.

A

$AB + AC > HA + HB + HC$
B

$AB + AC < HA + HB + HC$
C

$AB + AC = HA + HB + HC$
D

$AB + AC \le HA + HB + HC$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$ , kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$ .

- Chứng minh $\Delta AEH = \Delta HFA\,$ $\Rightarrow EH = AF;\,AE = HF$ (hai cạnh tương ứng).

- Sử dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc để chứng minh $BF > BH$ , $CE > CH$ .

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta AEH$ ta có: $AE + EH > HA$ .

Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$ , kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$ .

Vì $AE//HF$ (cách vẽ) nên $\widehat {EAH} = \widehat {FHA}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì $AF//HE$ (cách vẽ) nên $\widehat {AHE} = \widehat {HAF}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta HFA$ có:

$AH$ cạnh chung

$\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\,\,(cmt)$

$\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta AEH = \Delta HFA\,(g.c.g)$

$\Rightarrow EH = AF;\,AE = HF$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $BH \bot AC$ và $FH//AC$ nên $BH \bot FH$ .

Ta có: $BF;\,BH$ lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $FH$ nên $BF > BH$ (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).

Vì $CH \bot AB$ và $EH//AB$ nên $CH \bot EH$ .

Ta có: $CE;\,CH$ lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ $C$ đến $EH$ nên $CE > CH$ (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).

Xét $\Delta AEH$ có: $AE + EH > HA$ (bất đẳng thức tam giác)

Ta có: $AB + AC = AF + FB + AE + EC$

$\Rightarrow AB + AC = EH + FB + AE + EC$ (vì $AF = EH\,(cmt)$ )

$\Rightarrow AB + AC = \left( {AE + EH} \right) + FB + EC > HA + HB + HC$ .

Vậy $AB + AC > HA + HB + HC$ .

Câu 2

Chọn câu đúng nhất.

A.

$AB$ là đường trung trực của đoạn $IE.$
B.

$AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $IF$
C.

$\Delta EAI$ cân tại $A$ .
D.

Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng:

- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.

- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng ${180^o}.$

- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Lời giải chi tiết :

$\Delta ABC$ có: $\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)$ nên $\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}$ .

$\widehat {EAB}$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ nên $\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.$

Do đó $\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.$

$\Delta EAI$ cân tại $A$ (vì $AE = AD\,(gt)$ ) mà $AB$ là phân giác nên $AB$ là đường trung trực của $IE.$

Ta có: $\widehat {FAC} = \widehat {EAB}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat {FAC} = {60^o}.$

Do đó $AC$ là phân giác của $\widehat {FAI}$ .

$\Delta FAI$ cân tại $A$ (vì $AI = \,AF\,(gt)$ ) mà $AC$ là phân giác nên $AC$ là đường trung trực của $IF.$

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Câu 3

Tam giác $IEF$ là tam giác gì?

A.

Tam giác vuông
B.

Tam giác vuông cân
C.

Tam giác đều
D.

Tam giác tù

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $AB$ là đường trung trực của $IE$ , $AC$ là đường trung trực của $IF.$

Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $AB$ là đường trung trực của $IE$ , $AC$ là đường trung trực của $IF.$

Vì $E$ nằm trên đường trung trực của $IF$ nên $EF = EI$ (tính chất đường trung trực) (1)

Vì $F$ nằm trên đường trung trực của $IE$ nên $EF = FI$ (tính chất đường trung trực) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF = EI = FI$ do đó $\Delta IEF$ là tam giác đều.

Câu 4

Chọn câu sai.

A.

$AB$ là đường trung trực của đoạn $IE.$
B.

$AC$ là đường trung trực của đoạn $IF.$
C.

$\Delta EAI$ cân tại $A$ .
D.

$\Delta EAI$ cân tại $I$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng:

- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng ${180^o}.$

- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Lời giải chi tiết :

Mà $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}$ .

$\widehat {EAB}$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ nên $\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.$

Do đó $\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.$

$\Delta EAI$ cân tại $A$ (vì $AE = AD\,(gt)$ ) mà $AB$ là phân giác nên $AB$ là đường trung trực của $IE.$

Ta có: $\widehat {FAC} = \widehat {EAB}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat {FAC} = {60^o}.$

Do đó $AC$ là phân giác của $\widehat {FAI}$ .

$\Delta FAI$ cân tại $I$ (vì $AI = \,AF\,(gt)$ ) mà $AC$ là phân giác nên $AC$ là đường trung trực của $IF.$

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Câu 5

Tam giác $IEF$ là tam giác gì?

A.

Tam giác vuông
B.

Tam giác vuông cân
C.

Tam giác đều
D.

Tam giác tù

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $AB$ là đường trung trực của $IE$ , $AC$ là đường trung trực của $IF.$

Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $AB$ là đường trung trực của $IE$ , $AC$ là đường trung trực của $IF.$

Vì $E$ nằm trên đường trung trực của $IF$ nên $EF = EI$ (tính chất đường trung trực) (1)

Vì $F$ nằm trên đường trung trực của $IE$ nên $EF = FI$ (tính chất đường trung trực) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF = EI = FI$ do đó $\Delta IEF$ là tam giác đều.

Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $BE;CF$ cắt nhau tại $H.$ Gọi $I$ là trung điểm đoạn $AH$ và $K$ là trung điểm cạnh $BC.$

Câu 6

Tính số đo góc $\widehat {IFK}.$

A.

$\widehat {IFK} = {60^o}$
B.

$\widehat {IFK} = {90^o}$
C.

$\widehat {IFK} = {70^o}$
D.

$\widehat {IFK} = {80^o}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

- Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

$H$ là giao của hai đường cao $BE;\,CF$ nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC.$

Gọi $D$ là giao của $AH$ và $BC$ nên $AD\, \bot BC.$

Xét $\Delta AFH$ vuông tại $F$ , đường trung tuyến $FI$ nên $FI = IA = \dfrac{1}{2}AH$ (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).

Do đó $\Delta FAI$ cân tại $I$ suy ra $\widehat {IFA} = \widehat {IAF}$ (1)

Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ , đường trung tuyến $FK$ nên $FK = BK = \dfrac{1}{2}BC$ (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).

Do đó $\Delta FBK$ cân tại $K$ suy ra $\widehat {KFB} = \widehat {KBF}$ (2)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ nên $\widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {IFA} + \widehat {KFB} = \widehat {IAF} + \widehat {KBF} = \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.$

Ta có: $\widehat {IFA} + \widehat {IFK} + \widehat {KFB} = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat {IFK} = {180^o} - \left( {\widehat {IFA} + \widehat {KFB}} \right) = {180^o} - {90^o} = {90^o}$ .

Câu 7

Biết $AH = 6cm,BC = 8cm.$ Tính $IK.$

A.

$IK = 3\,cm$
B.

$IK = 4\,cm$
C.

$IK = 5\,cm$
D.

$IK = 6\,cm$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $\widehat {IFK} = {90^o}$ hay $\Delta IFK$ vuông tại $F$ và $FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.$ Từ đó áp dụng định lí Pytago vào $\Delta IFK$ ta tính được $IK.$

Lời giải chi tiết :

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $\widehat {IFK} = {90^o}$ hay $\Delta IFK$ vuông tại $F$ và $FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.$

Ta có: $FI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm);\,FK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,(cm).$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $IFK$ ta có:

$\begin{array}{l}I{K^2} = F{I^2} + F{K^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow IK = \sqrt {25} = 5\,\left( {cm} \right).\end{array}$ .

Câu 8 :

A

$\Delta ABE$ là tam giác vuông tại E
B

$\Delta ABE$ là tam giác vuông tại A.
C

$\Delta ABE$ là tam giác vuông tại B.
D

$\Delta ABE$ là tam giác đều

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất tia phân giác, tính chất đường cao của tam giác, tính chất hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

+) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {HBA} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\left( 1 \right)$

Mặt khác, $BI$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}\left( {gt} \right)$ và $E$ thuộc $BI$ nên suy ra $\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất tia phân giác)

+) $AJ$ là tia phân giác của $\widehat {HAC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {JAC} = \dfrac{{\widehat {HAC}}}{2}\left( 3 \right)$ (tính chất tia phân giác)

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {JAC}$ .

Xét $\Delta ABE$ có: $\widehat {ABE} + \widehat {BAE} = \widehat {JAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AEB} = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta AEB$ vuông tại $E.$

Cho tam giác nhọn $ABC$ có hai đường cao $AH$ và $BK$ cắt nhau tại $D.$

Câu 9

Biết $\widehat {ACB} = 50^\circ$ , tính $\widehat {HDK.}$

A.

${130^0}$
B.

${50^0}$
C.

${60^0}$
D.

${90^0}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường cao, định lý tổng ba góc trong tam giác và tính chất hai góc kề bù.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $CHK$ có $\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} = 180^\circ \,\left( 1 \right)$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Xét tam giác $DHK$ có $\widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \,\left( 2 \right)$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} + \widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \, + 180^\circ \, = 360^\circ$

$\Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {DHK} + \widehat {HDK} + \widehat {CKH} + \widehat {DKH} = 360^\circ$

$\Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {DHC} + \widehat {HDK} + \widehat {DKC} = 360^\circ$ mà $\widehat {CHD} = 90^\circ ;\,\widehat {DKC} = 90^\circ ;\,\widehat {HCK} = 50^\circ$

Suy ra $\widehat {HDK} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ .

Câu 10

Nếu $DA = DB$ thì tam giác $ABC$ là tam giác

A.

Cân tại $A.$
B.

Cân tại $B.$
C.

Cân tại $C.$
D.

Đều.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất và định nghĩa tam giác cân

Lời giải chi tiết :

Nếu $DA = DB$ thì tam giác $DAB$ cân tại $D$ suy ra $\widehat {DBA} = \widehat {DAB}\,\left( 1 \right)$ (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác vuông $AHB$ có $\widehat {ABH} = 90^\circ - \widehat {BAH}\,\left( 2 \right)$

Xét tam giác vuông $ABK$ có $\widehat {BAK} = 90^\circ - \widehat {ABK}\,\left( 3 \right)$

Từ (1); (2); (3) ta suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {BAK}$ hay $\widehat {ABC} = \widehat {BAC}$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại $C.$

Câu 11 :

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó $\Delta MED$ là tam giác gì?

A

Tam giác cân
B

Tam giác vuông cân
C

Tam giác vuông
D

Tam giác đều.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.

+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.

+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ABC$ có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$ là đường cao của tam giác đó.

Mà $AI$ cắt $BC$ tại $M$ nên $AM \bot BC$ .

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ (gt) nên $AM$ là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).

$\Rightarrow BM = MC$ (tính chất đường trung tuyến)

Vì $\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}$ .

Xét ${\Delta _v}BEC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$ là trung tuyến của ${\Delta _v}BEC$

$\Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)$ (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Xét ${\Delta _v}BDC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $DM$ là trung tuyến của ${\Delta _v}BDC$

$\Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD$ cân tại $M$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Câu 12 :

A

${30^0}$
B

${45^0}$
C

${60^0}$
D

${90^0}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất tam giác vuông cân, tính chất đường cao của tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì $Mx \bot AB \Rightarrow \widehat {AMx} = {90^0}$

Xét $\Delta AMC$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMC} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MA = MC\left( {gt} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (tính chất tam giác vuông cân)

Do đó $\widehat {DCE} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (đối đỉnh)

Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BMD} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MB = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {MDB} = {45^0}$ (tính chất tam giác vuông cân)

Xét $\Delta CDE$ có: $\widehat {CDE} = \widehat {DCE} = {45^0}$ $\Rightarrow \widehat {CDE} + \widehat {DCE} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DEC} = {90^0}.$

Lại có: $\widehat {DEC} + \widehat {AEB} = {180^0}$ (kề bù) $\Rightarrow \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = {180^0} - {90^0} = {90^0}$ .

Cho $\Delta ABC$ nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho $BI = AC$ . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho $CK = AB.$

Câu 13

Chọn câu đúng.

A.

$AI > AK$
B.

$AI < AK$
C.

$AI = 2AK$
D.

$AI = AK$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết :

Xét ${\Delta _v}ABD$ có: $\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^0}$ (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Xét ${\Delta _v}AEC$ có: $\widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^0}$ (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\left( 1 \right)$ .

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^0}\\\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\end{array} \right.\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)

Từ $\left( 1 \right);\;\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}$ .

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta KCA$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AB = CK\left( {gt} \right)\\\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\left( {cmt} \right)\\BI = AC\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABI = \Delta KCA\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow AI = AK$ (2 cạnh tương ứng)

Câu 14

$\Delta AIK$ là tam giác gì?

A.

$\Delta AIK$ là tam giác cân tại B.
B.

$\Delta AIK$ là tam giác vuông cân tại A.
C.

$\Delta AIK$ là tam giác vuông
D.

$\Delta AIK$ là tam giác đều

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết :

Ta có $AI = AK\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AIK$ cân tại A (*).

$\Delta ABI = \Delta KCA\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {CAK}\left( 3 \right)$ (2 góc tương ứng)

Xét ${\Delta _v}AID$ có: $\widehat {AID} + \widehat {IAD} = {90^0}\left( 4 \right)$ (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Từ $\left( 3 \right)\left( 4 \right) \Rightarrow \widehat {IAD} + \widehat {CAK} = {90^0} \Rightarrow \Delta AIK$ vuông tại A (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow \Delta AIK$ vuông cân tại $A.$

Câu 15 :

Đường cao của tam giác đều cạnh $a$ có bình phương độ dài là

A

$\dfrac{{3{a^2}}}{4}.$
B

$\dfrac{{{a^2}}}{4}.$
C

$\dfrac{{3{a^2}}}{2}.$
D

$\dfrac{{3a}}{2}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất tam giác đều, định lý py-ta-go.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ đều cạnh $AB = BC = AC = a$ có $AM$ là đường trung tuyến suy ra $AM$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$ hay $AM \bot BC$ tại $M$ .

Ta có $MB = MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác $AMC$ vuông tại $M$ , theo định lý Pytago ta có

$A{M^2} = A{C^2} - M{C^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}$ $= {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{{3{a^2}}}{4}.$

Câu 16 :

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$

A

$AB = AC = 13cm$
B

$AB = AC = 14cm$
C

$AB = AC = 15cm$
D

$AB = AC = 16cm$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất tam giác cân, định lý py-ta-go.

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ (gt) mà $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao của tam giác đó.

Vì $AM$ là trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow BM = \dfrac{{BC}}{2} = 24:2 = 12cm.$

Xét $\Delta AMB$ vuông tại $M$ có: $A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}$ (định lý py-ta-go)

$\Rightarrow A{B^2} = {12^2} + {5^2} = 169 \Rightarrow AB = \sqrt {169} = 13cm.$

Vậy $AB = AC = 13cm.$

Câu 17 :

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến khi đó

A

$AM \bot BC$
B

$AM$ là đường trung trực của $BC$
C

$AM$ là đường phân giác của góc $BAC.$
D

Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác $ABC.$

Câu 18 :

Cho $\Delta ABC$ , hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:

A

$H$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ .
B

$H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ .
C

$CH$ là đường cao của $\Delta ABC$ .
D

$CH$ là đường trung trực của $\Delta ABC$ .

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Vì hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H$ nên $CH$ là đường cao của $\Delta ABC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên A, B, D sai, C đúng.

Bài liên quan

Trắc nghiệm Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác Toán 7 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán 7 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán 7 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 5: Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán 7 Chân trời sáng tạo

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5: Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán 7 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên Toán 7 Chân trời sáng tạo

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên Toán 7 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Trắc nghiệm Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Bài 5: Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán 7 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên Toán 7 Chân trời sáng tạo