Bài 1.4 trang 16 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết:

a) $\cos \alpha  = \frac{1}{5}$ và $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$;             

b) $\sin \alpha  = \frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$.

c) $\tan \alpha  = \sqrt 5$ và $\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}$;         

d) $\cot \alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ và $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha  > 0$. Mặt khác, từ ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ suy ra

$\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a}  = \sqrt {1 - \frac{1}{{25}}}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$

Do đó, $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6$ và $\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}$

b) Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$ nên $\cos \alpha  < 0$. Mặt khác, từ ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ suy ra

       $\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a}  = \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = -\frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Do đó, $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = -\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ và $\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = -\frac{{\sqrt 5 }}{2}$

c) Ta có: $\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Ta có: ${\tan ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha  + 1}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{{\sqrt 6 }}$

Vì $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\;$ và $\,\,\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  = -\frac{1}{{\sqrt 6 }}$

Ta có: $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  = \sqrt 5 .(-\frac{1}{{\sqrt 6 }}) = -\sqrt {\frac{5}{6}}$

d) Vì $\cot \alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\,$ nên $\,\,\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} =  - \sqrt 2$

Ta có: ${\cot ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha  + 1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {\frac{2}{3}}$

Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi  \Rightarrow \sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {\frac{2}{3}}$

Ta có: $\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  = \cot \alpha .\sin \alpha  = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( { - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$