Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với các cạnh AC, CD và DB.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).

\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha  \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành.

b) Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP.

Ta có:

\(MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

\(NP\parallel AD \Rightarrow \frac{{NP}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}}\).

Ta có:

\(\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{AD}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{AD}}} \right) = 1\)

\(\Leftrightarrow MN.\frac{{BC + AD}}{{BC.AD}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.AD}}{{BC + AD}}\).

Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.AD}}{{BC + AD}}\) thì MNPQ là hình thoi.