Bài 5 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $SA$ và $BC$. Tìm giao tuyến của $\left( P \right)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$.

Lời giải chi tiết

Qua $M$ dựng đường thẳng song song với $BC$, cắt $AB$ tại $N$.

Qua $N$ dựng đường thẳng song song với $SA$, cắt $SB$ tại $P$.

Qua $P$ dựng đường thẳng song song với $BC$, cắt $SC$ tại $Q$.

Vì $MN\parallel BC,NP\parallel SA$ nên $\left( {MNPQ} \right) \equiv \left( P \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}MN = \left( P \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\NP = \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right)\\PQ = \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right)\\MQ = \left( P \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array}$

Gọi $E$ là giao điểm của $A{\rm{D}}$ và $MN$, $F$ là giao điểm của $S{\rm{D}}$ và $MQ$. Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E \in A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\E \in MN \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( P \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}F \in S{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\F \in MQ \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( P \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow EF = \left( P \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right)\end{array}$