Giải câu hỏi mở đầu trang 26 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là $C\left( x \right) = 2x + 45$ (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}$. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/ sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?

Lời giải chi tiết

Ta có: $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x + 45}}{x}$.

Vì $f'\left( x \right) = \frac{{ - 45}}{{{x^2}}} < 0$ với mọi $x \ge 1$ nên hàm số $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}$ là hàm số giảm.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 45}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{{45}}{x}}}{1} = 2$.

Do đó, chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn 2 triệu đồng/ sản phẩm.

Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ và đi xuống trong khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.