Giải mục 1 trang 26, 27, 28 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Số lượng cá thể vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy tuân theo công thức $P\left( t \right) = {50.10^{kt}}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm bắt đầu nuôi cấy, $k$ là hằng số.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 101)

a) Ban đầu mẻ có bao nhiêu cá thể vi khuẩn?

b) Sau 1 giờ thì mẻ có 100 cá thể vi khuẩn. Tìm giá trị của $k$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

c) Sau bao lâu thì số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000?

Phương pháp giải:

a) Thay $t = 0$ vào công thức $P\left( t \right) = {50.10^{kt}}$.

b) Thay $t = 1,P\left( t \right) = 100$ vào công thức $P\left( t \right) = {50.10^{kt}}$.

c) Thay $P\left( t \right) = 50000$ vào công thức $P\left( t \right) = {50.10^{kt}}$.

Lời giải chi tiết:

a) Số cá thể vi khuẩn ban đầu mẻ có là:

$P\left( 0 \right) = {50.10^{k.0}} = {50.10^0} = 50$ (cá thể)

b) Với $t = 1,P\left( t \right) = 100$ ta có:

$P\left( 1 \right) = {50.10^{k.1}} \Leftrightarrow 100 = {50.10^k} \Leftrightarrow {10^k} = 2 \Leftrightarrow k = \log 2 \approx 0,3$

c) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000 là:

$50000 = {50.10^{0,3t}} \Leftrightarrow {10^{0,3t}} = 1000 \Leftrightarrow 0,3t = \log 1000 \Leftrightarrow 0,3t = 3 \Leftrightarrow t = 10$ (giờ)

Hoạt động 2

Cho đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = b$ như Hình 2a (với $a > 0$) hay Hình 2b (với $0 < a < 1$). Từ đây, hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình ${a^x} = b$ trong hai trường hợp $b > 0$ và $b \le 0$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị, dựa vào số điểm chung của đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = b$.

Lời giải chi tiết:

Khi $b > 0$, đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = b$ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình ${a^x} = b$ có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$.

Khi $b \le 0$, đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = b$ không có điểm chung. Khi đó phương trình ${a^x} = b$  vô nghiệm.

Thực hành 1

Giải các phương trình sau:

a) ${3^{x + 2}} = \sqrt[3]{9}$;    b) ${2.10^{2{\rm{x}}}} = 30$;    c) ${4^{2{\rm{x}}}} = {8^{2{\rm{x}} - 1}}$.

Phương pháp giải:

a) b) Đưa về phương trình ${a^x} = b$.

c) Đưa 2 vế của phương trình về cùng cơ số.

Lời giải chi tiết:

a) ${3^{x + 2}} = \sqrt[3]{9} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {9^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {\left( {{3^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^{\frac{2}{3}}} \Leftrightarrow x + 2 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x =  - \frac{4}{3}$

b) ${2.10^{2{\rm{x}}}} = 30 \Leftrightarrow {10^{2{\rm{x}}}} = 15 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \log 15 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\log 15$

c) ${4^{2{\rm{x}}}} = {8^{2{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {\left( {{2^2}} \right)^{2{\rm{x}}}} = {\left( {{2^3}} \right)^{2{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}}}} = {2^{6{\rm{x}} - 3}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} = 6{\rm{x}} - 3 \Leftrightarrow  - 2{\rm{x}} =  - 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.

Vận dụng 1

Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu ${M_0}$ là $M\left( t \right) = {M_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}$, trong đó $t$ là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và $T$ là chu kì bán rã của chất. Đồng vị plutonium-234 có chu kì bản rã là 9 giờ.

(Nguồn: https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/element/Plutonium#section=Atomic- Mass-Half-Life-and-Decay)

Từ khối lượng ban đầu 200 g, sau bao lâu thì sau bao lâu thì khối lượng plutonium-234 còn lại là:

a) 100 g?                          

b) 50 g?                            

c) 20 g?

Phương pháp giải:

Thay ${M_0} = 200,T = 9$ và giá trị của $M\left( t \right)$ vào công thức $M\left( t \right) = {M_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}$.

Lời giải chi tiết:

a) Với ${M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 100$ ta có:

$100 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = 1 \Leftrightarrow t = 9$

Vậy sau 9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 100 g.

b) Với ${M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 50$ ta có:

$50 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = 2 \Leftrightarrow t = 18$

Vậy sau 18 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.

c) Với ${M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 20$ ta có:

$20 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = {\log _2}10 \Leftrightarrow t = 9{\log _2}10 \approx 29,9$

Vậy sau 29,9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.