Giải mục 4 trang 13, 14, 15, 16 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 13 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Dựa vào định nghĩa của $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ hãy tính ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha$.

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của $\tan \alpha$, hãy tính $1 + {\tan ^2}\alpha$.

Phương pháp giải:

Vẽ hình. Xác định các điểm $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ trên hình.

Sử dụng định lý Pytago để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha$ trên đường tròn lượng giác. Ta có:

OK = MH = $\sin \alpha$.

OH = KM = $\cos \alpha$.

$\begin{array}{l}O{M^2} = O{H^2} + M{H^2}\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha \end{array}$.

b) $1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 12 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết $\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản để tính giá trị lượng giác góc $\alpha$. Chú ý dấu của giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Vì $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$nên $\sin \alpha  < 0$.

Mặt khác, từ ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ suy ra:

$\sin \alpha  = -\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = -\sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = -\frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Do đó $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} =  \frac{{\sqrt 5 }}{2}$;

$\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{ 2}}{{\sqrt 5 }}$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 14 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa $\cos ( - \alpha )$ và $\cos \alpha$; $\sin ( - \alpha )$ và $\sin \alpha$.

b) Từ kết quả HĐ7a, rút ra liên hệ giữa: $\tan ( - \alpha )$ và $\tan \alpha$; $\cot ( - \alpha )$ và $\cot \alpha$.

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ để nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Hai điểm M và N đối xứng nhau qua hệ trục Oxy.

Suy ra $\cos ( - \alpha =\cos \alpha$; $\sin ( - \alpha )=  - \sin \alpha$.

b) Ta có: $\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha$; $\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha$.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 15 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính:

a) $\sin ( - {675^ \circ })$;

b) $\tan \frac{{15\pi }}{4}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

+ $\sin ( - {675^ \circ }) = \sin ({45^ \circ } - {2.360^ \circ })$

$= \sin {45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

+ $\tan \frac{{15\pi }}{4} = \tan \left( {3\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$

$= \tan \left( {\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$

$= \tan \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$

$= \tan \left( {\pi  - \frac{\pi }{4}} \right)$

$=  - \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1$.

VD 2

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

$B(t) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi t}}{{12}}$

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng;

b) 10 giờ 30 phút sáng;

c) 12 giờ trưa;

d) 8 giờ tối.

Phương pháp giải:

Tính thời gian t.

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác giữa các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

a) $t = 6$.

$B(6) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 6}}{{12}}$

$= 80 + 7.\sin \frac{\pi }{2} = 87$.

b) $t = 10,5$.

$\Rightarrow B(10,5) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 10,5}}{{12}}$

$= 80 + 7.\sin \frac{{7\pi }}{8} = 82,67878$.

c) $t = 12$.

$\Rightarrow B(12) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 12}}{{12}}$

$= 80 + 7.\sin \pi  = 80$.

d) $t = 20$.

$B(20) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 20}}{{12}}$

$= 80 + 7.\sin \frac{{5\pi }}{3} = 80 + 7.\sin \left( {\pi {\rm{\;}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$

$= 80 - 7.\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 80 - 7.\sin \left( {\pi {\rm{\;}} - \frac{\pi }{3}} \right)$

$= 80 - 7.\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{160 - 7\sqrt 3 }}{2}$.