Bài tập trắc nghiệm Toán 8 - Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương Toán 8 Kết nối tri thức

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Chọn câu sai?

A
${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$ .
B
${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ .
C
${\left( {A + B} \right)^3}\; = {(B + A)^3}$ .
D
${\left( {A{{ - }}B} \right)^3}\; = {(B - A)^3}$ .

Câu 2 :

Viết biểu thức $(x - 3y)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)$ dưới dạng hiệu hai lập phương

A
${x^3} + {(3y)^3}$ .
B
${x^3} + {(9y)^3}$ .
C
${x^3} - {(3y)^3}$ .
D
${x^3} - {(9y)^3}$ .

Câu 3 :

Điền vào chỗ trống ${x^3} + 512 = (x + 8)\left( {{x^2} - \left[ {} \right] + 64} \right)$

A
$- 8x$ .
B
$8x$ .
C
$- 16x$ .
D
$16x$ .

Câu 4 :

Rút gọn biểu thức $A = {x^3} + 12 - (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$ ta được giá trị của A là

A
một số nguyên tố.
B
một số chính phương.
C
một số chia hết cho 3.
D
một số chia hết cho 5.

Câu 5 :

Giá trị của biểu thức $125 + (x - 5)({x^2} + 5x + 25)$ với x = -5 là

A
$125$ .
B
$- 125$ .
C
$250$ .
D
$- 250$ .

Câu 6 :

Có bao nhiêu cách điền vào dấu ? để biểu thức $(x - 2).?$ là một hằng đẳng thức?

A
$1$ .
B
$2$ .
C
$3$ .
D
$4$ .

Câu 7 :

Viết biểu thức $8 + {(4x - 3)^3}$ dưới dạng tích

A
$(4x - 1)(16{x^2} - 16x + 1)$ .
B
$(4x - 1)(16{x^2} - 32x + 1)$ .
C
$(4x - 1)(16{x^2} + 32x + 19)$ .
D
$(4x - 1)(16{x^2} - 32x + 19)$ .

Câu 8 :

Thực hiện phép tính ${(x + y)^3} - {\left( {x - 2y} \right)^3}$

A
$9{x^2}y - 9x{y^2} + 9{y^3}$ .
B
$9{x^2}y - 9xy + 9{y^3}$ .
C
$9{x^2}y - 9x{y^2} + 9y$ .
D
$9xy - 9x{y^2} + 9{y^3}$ .

Câu 9 :

Tìm $x$ biết $(x + 3)({x^2} - 3x + 9) - x({x^2} - 3) = 21$

A
$x = 2$ .
B
$x = - 2$ .
C
$x = - 4$ .
D
$x = 4$ .

Câu 10 :

Viết biểu thức ${a^6} - {b^6}$ dưới dạng tích

A
$({a^2} + {b^2})({a^4} - {a^2}{b^2} + {b^4})$ .
B
$(a - b)(a + b)({a^4} - {a^2}{b^2} + {b^4})$ .
C
$(a - b)(a + b)({a^2} + ab + {b^2})$ .
D
$(a - b)(a + b)({a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4})$ .

Câu 11 :

Cho $x + y = 1$ . Tính giá trị biểu thức $A = {x^3} + 3xy + {y^3}$

A
$- 1$ .
B
$0$ .
C
$1$ .
D
$3xy$ .

Câu 12 :

Cho x – y = 2. Tính giá trị biểu thức $A = {x^3} - 6xy - {y^3}$

A
$0$ .
B
$2$ .
C
$4$ .
D
$8$ .

Câu 13 :

Cho $A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}$ . Khi đó

A
A chia hết cho 12 và 5.
B
A không chia hết cho cả 12 và 5.
C
A chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho 5.
D
A chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 12.

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức $\left( {a - b + 1} \right)\left[ {{a^2} + {b^2} + ab - (a + 2b) + 1} \right] - ({a^3} + 1)$

A
${(1 + b)^3} - 1$ .
B
${(1 + b)^3} + 1$ .
C
${(1 - b)^3} - 1$ .
D
${(1 - b)^3} + 1$ .

Câu 15 :

Cho $a,b,m$ và $n$ thỏa mãn các đẳng thức: $a + b = m$ và $a - b = n$ . Giá trị của biểu thức $A = {a^3} + {b^3}$ theo m và n.

A
$A = \frac{{{m^3}}}{4}$ .
B
$A = \frac{1}{4}m(5{n^2} + {m^2})$ .
C
$A = \frac{1}{4}m(3{n^2} + {m^2})$ .
D
$A = \frac{1}{4}m(3{n^2} - {m^2})$ .

Câu 16 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${x^{4\;}} + {x^3}y - x{y^{3\;}} - {y^4}$

A
$\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)$ .
B
$\left( {x - y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)$ .
C
$\left( {x + y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)$ .
D
$\left( {x + y} \right)\left( {{x^3} - {y^3}} \right)$ .

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức ${\left( {x - y} \right)^{3\;}} + \left( {x - y} \right)({x^{2\;}} + xy + {y^2}) + 3({x^2}y - x{y^2})$

A
${x^3} - {y^3}$ .
B
${x^3} + {y^3}$ .
C
$2{x^3} - 2{y^3}$ .
D
$2{x^3} + 2{y^3}$ .

Câu 18 :

Cho $x,y,a$ và $b$ thỏa mãn các đẳng thức: $x - y = a - b\,\,\,(1)$ và ${x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}\,\,\,(2)$ . Biểu thức ${x^3} - {y^3} = ?$

A
$(a - b)({a^2} + {b^2})$ .
B
${a^3} - {b^3}$ .
C
${(a - b)^3}$ .
D
${(a - b)^2}({a^2} + {b^2})$ .

Câu 19 :

Với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì giá trị của biểu thức ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc$ là:

A
$0$ .
B
$1$ .
C
$- 3abc$ .
D
${a^3} + {b^3} + {c^3}$

Câu 20 :

Viết biểu thức sau dưới dạng tích: $A = {(3 - x)^3} + {(x - y)^3} + {(y - 3)^3}$

A
$A = 3$ .
B
$A = (3 - x)(x - y)(y - 3)$ .
C
$A = 6(3 - x)(x - y)(y - 3)$ .
D
$A = 3(3 - x)(x - y)(y - 3)$ .

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn câu sai?

A
${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$ .
B
${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ .
C
${\left( {A + B} \right)^3}\; = {(B + A)^3}$ .
D
${\left( {A{{ - }}B} \right)^3}\; = {(B - A)^3}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Kiểm tra các đáp án dựa vào hai hằng đẳng thức Tổng và hiệu hai lập phương; sử dụng tính chất của phép cộng.

Lời giải chi tiết :

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: ${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$ nên A đúng;

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: ${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ nên B đúng;

$A + B = B + A \Rightarrow {(A + B)^3} = {(B + A)^3}$ nên C đúng;

$A - B \ne B - A \Rightarrow {(A - B)^3} \ne {(B - A)^3}$ nên D sai.

Câu 2 :

Viết biểu thức $(x - 3y)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)$ dưới dạng hiệu hai lập phương

A
${x^3} + {(3y)^3}$ .
B
${x^3} + {(9y)^3}$ .
C
${x^3} - {(3y)^3}$ .
D
${x^3} - {(9y)^3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}(x - 3y)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\\ = (x - 3y)\left[ {{x^2} + x.3y + {{(3y)}^2}} \right]\\ = {x^3} - {(3y)^3}\end{array}$

Câu 3 :

Điền vào chỗ trống ${x^3} + 512 = (x + 8)\left( {{x^2} - \left[ {} \right] + 64} \right)$

A
$- 8x$ .
B
$8x$ .
C
$- 16x$ .
D
$16x$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^3} + 512 = (x + 8)\left( {{x^2} - 8x + 64} \right)\\ \Rightarrow \left[ {} \right] = 8x\end{array}$

Câu 4 :

Rút gọn biểu thức $A = {x^3} + 12 - (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$ ta được giá trị của A là

A
một số nguyên tố.
B
một số chính phương.
C
một số chia hết cho 3.
D
một số chia hết cho 5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^3} + 12 - (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\\ = {x^3} + 12 - ({x^3} + 8)\\ = {x^3} + 12 - {x^3} - 8\\ = 4\end{array}$

$A = 4 \vdots 2$ nên A không phải số nguyên tố.

$A = 4$ không chia hết cho 3.

$A = 4$ không chia hết cho 5.

$A = 4 = {2^2}$ nên A là một số chính phương.

Câu 5 :

Giá trị của biểu thức $125 + (x - 5)({x^2} + 5x + 25)$ với x = -5 là

A
$125$ .
B
$- 125$ .
C
$250$ .
D
$- 250$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:

$(A - B)({A^2} + AB + {B^2}) = {A^3} - {B^3}$ để rút gọn biểu thức, sau đó thay x = -5 vào để tính giá trị của biểu thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}125 + (x - 5)({x^2} + 5x + 25)\\ = 125 + {x^3} - 125\\ = {x^3}\end{array}$

Thay x = -5 vào biểu thức, ta có: ${( - 5)^3} = - 125$

Câu 6 :

Có bao nhiêu cách điền vào dấu ? để biểu thức $(x - 2).?$ là một hằng đẳng thức?

A
$1$ .
B
$2$ .
C
$3$ .
D
$4$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đã học.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức $(x - 2).?$ là một hằng đẳng thức khi:

Cách 1.

$\begin{array}{l}(x - 2).(x - 2) = {(x - 2)^2} = {x^2} - 4x + 4\\ \Rightarrow ? = x - 2\end{array}$

Cách 2.

$\begin{array}{l}(x - 2).(x + 2) = {x^2} - 4\\ \Rightarrow ? = x + 2\end{array}$

Cách 3.

$\begin{array}{l}(x - 2).({x^2} + 2x + 4) = {x^3} - 8\\ \Rightarrow ? = {x^2} + 2x + 4\end{array}$

Có 3 cách điền vào dấu ?

Câu 7 :

Viết biểu thức $8 + {(4x - 3)^3}$ dưới dạng tích

A
$(4x - 1)(16{x^2} - 16x + 1)$ .
B
$(4x - 1)(16{x^2} - 32x + 1)$ .
C
$(4x - 1)(16{x^2} + 32x + 19)$ .
D
$(4x - 1)(16{x^2} - 32x + 19)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng các hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$ ;

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}8 + {(4x - 3)^3} = {2^3} + {(4x - 3)^3}\\ = (2 + 4x - 3)\left[ {{2^2} - 2.(4x - 3) + {{(4x - 3)}^2}} \right]\\ = (4x - 1)(4 - 8x + 6 + 16{x^2} - 24x + 9)\\ = (4x - 1)(16{x^2} - 32x + 19)\end{array}$

Câu 8 :

Thực hiện phép tính ${(x + y)^3} - {\left( {x - 2y} \right)^3}$

A
$9{x^2}y - 9x{y^2} + 9{y^3}$ .
B
$9{x^2}y - 9xy + 9{y^3}$ .
C
$9{x^2}y - 9x{y^2} + 9y$ .
D
$9xy - 9x{y^2} + 9{y^3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng các hằng đẳng thức:

${(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ ;

${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ ;

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$

và quy tắc nhân đa thức để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{(x + y)^3} - {\left( {x - 2y} \right)^3}\\ = (x + y - x + 2y)\left[ {{{(x + y)}^2} + (x + y)(x - 2y) + {{(x - 2y)}^2}} \right]\\ = 3y({x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} + xy - 2xy - 2{y^2} + {x^2} - 4xy + 4{y^2})\\ = 3y(3{x^2} - 3xy + 3{y^2})\\ = 9{x^2}y - 9x{y^2} + 9{y^3}\end{array}$

Câu 9 :

Tìm $x$ biết $(x + 3)({x^2} - 3x + 9) - x({x^2} - 3) = 21$

A
$x = 2$ .
B
$x = - 2$ .
C
$x = - 4$ .
D
$x = 4$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức:

${(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ rồi tìm đưa về bài toán tìm

$x$ đã biết.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}(x + 3)({x^2} - 3x + 9) - x({x^2} - 3) = 21\\ \Leftrightarrow {x^3} + 27 - {x^3} + 3x = 21\\ \Leftrightarrow 3x + 27 = 21\\ \Leftrightarrow 3x = 21 - 27\\ \Leftrightarrow 3x = - 6\\ \Leftrightarrow x = - 2\end{array}$

Câu 10 :

Viết biểu thức ${a^6} - {b^6}$ dưới dạng tích

A
$({a^2} + {b^2})({a^4} - {a^2}{b^2} + {b^4})$ .
B
$(a - b)(a + b)({a^4} - {a^2}{b^2} + {b^4})$ .
C
$(a - b)(a + b)({a^2} + ab + {b^2})$ .
D
$(a - b)(a + b)({a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4})$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng các hằng đẳng thức:

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ ;

${A^2} - {B^2} = (A - B)(A + B)$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{a^6} - {b^6} = ({a^2} - {b^2})({a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4})\\ = (a - b)(a + b)({a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4})\end{array}$

Chú ý

Cách giải khác:

$\begin{array}{l}{a^6} - {b^6} = ({a^3} - {b^3})({a^3} + {b^3})\\ = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})(a + b)({a^2} - ab + {b^2})\\ = (a - b)(a + b)\left[ {{{({a^2} + {b^2})}^2} - {a^2}{b^2}} \right]\\ = (a - b)(a + b)\left( {{a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4}} \right)\end{array}$

Câu 11 :

Cho $x + y = 1$ . Tính giá trị biểu thức $A = {x^3} + 3xy + {y^3}$

A
$- 1$ .
B
$0$ .
C
$1$ .
D
$3xy$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$ ;

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

+ Thay $x + y = 1$ vào biểu thức để tính giá trị của A.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^3} + 3xy + {y^3}\\ = {x^3} + {y^3} + 3xy\\ = (x + y)({x^2} - xy + {y^2}) + 3xy\\ = (x + y)({x^2} + 2xy + {y^2} - 3xy) + 3xy\\ = (x + y)\left[ {{{(x + y)}^2} - 3xy} \right] + 3xy\end{array}$

Thay $x + y = 1$ vào biểu thức A ta được:

$\begin{array}{l}A = (x + y)\left[ {{{(x + y)}^2} - 3xy} \right] + 3xy\\ = 1.\left( {{1^2} - 3xy} \right) + 3xy\\ = 1 - 3xy + 3xy\\ = 1\end{array}$ .

Câu 12 :

Cho x – y = 2. Tính giá trị biểu thức $A = {x^3} - 6xy - {y^3}$

A
$0$ .
B
$2$ .
C
$4$ .
D
$8$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$ ;

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

+ Thay $x + y = 1$ vào biểu thức để tính giá trị của A.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {x^3} - 6xy - {y^3}\\ = {x^3} - {y^3} - 6xy\\ = (x - y)({x^2} + xy + {y^2}) - 6xy\\ = (x - y)({x^2} - 2xy + {y^2} + 3xy) - 6xy\\ = (x - y)\left[ {{{(x - y)}^2} + 3xy} \right] - 6xy\end{array}$

Thay x – y = 2 vào biểu thức A, ta được:

$\begin{array}{l}A = 2\left( {{2^2} + 3xy} \right) - 6xy\\ = 8 + 6xy - 6xy\\ = 8\end{array}$

Câu 13 :

Cho $A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}$ . Khi đó

A
A chia hết cho 12 và 5.
B
A không chia hết cho cả 12 và 5.
C
A chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho 5.
D
A chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 12.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}\\ = ({1^3} + {11^3}) + ({3^3} + {9^3}) + ({5^3} + {7^3})\\ = (1 + 11)({1^2} - 11 + {11^2}) + (3 + 9)({3^2} - 3.9 + {9^2}) + (5 + 7)({5^2} - 5.7 + {7^2})\\ = 12({1^2} - 11 + {11^2}) + 12({3^2} - 3.9 + {9^2}) + 12({5^2} - 5.7 + {7^2})\end{array}$

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 12 nên $A \vdots 12$ .

$\begin{array}{l}A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}\\ = ({1^3} + {9^3}) + ({3^3} + {7^3}) + {5^3} + {11^3}\\ = (1 + 9)({1^2} - 9 + {9^2}) + (3 + 7)({3^2} - 3.7 + {7^2}) + {5^3} + {11^3}\\ = 10({1^2} - 9 + {9^2}) + 10({3^2} - 3.7 + {7^2}) + {5^3} + {11^3}\end{array}$

Ta có:

$10 \vdots 5$ $\Rightarrow 10({1^2} - 9 + {9^2}) \vdots 5$ ; $10({3^2} - 3.7 + {7^2}) \vdots 5$

${5^3} \vdots 5$ .

Mà ${11^3}$ không chia hết cho 5 nên A không chia hết cho 5.

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức $\left( {a - b + 1} \right)\left[ {{a^2} + {b^2} + ab - (a + 2b) + 1} \right] - ({a^3} + 1)$

A
${(1 + b)^3} - 1$ .
B
${(1 + b)^3} + 1$ .
C
${(1 - b)^3} - 1$ .
D
${(1 - b)^3} + 1$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {a - b + 1} \right)\left[ {{a^2} + {b^2} + ab - (a + 2b) + 1} \right] - ({a^3} + 1)\\ = \left[ {a + \left( {1 - b} \right)} \right]\left[ {{a^2} - (a - ab) + ({b^2} - 2b + 1)} \right] - \left( {{a^3} + 1} \right)\\ = \left[ {a + \left( {1 - b} \right)} \right]\left[ {{a^2} - a(1 - b) + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right] - \left( {{a^3} + 1} \right)\\ = {a^3} + {(1 - b)^3} - {a^3} - 1\\ = {(1 - b)^3} - 1\end{array}$

Câu 15 :

Cho $a,b,m$ và $n$ thỏa mãn các đẳng thức: $a + b = m$ và $a - b = n$ . Giá trị của biểu thức $A = {a^3} + {b^3}$ theo m và n.

A
$A = \frac{{{m^3}}}{4}$ .
B
$A = \frac{1}{4}m(5{n^2} + {m^2})$ .
C
$A = \frac{1}{4}m(3{n^2} + {m^2})$ .
D
$A = \frac{1}{4}m(3{n^2} - {m^2})$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = m\\a - b = n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{m + n}}{2}\\b = \frac{{m - n}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow ab = \frac{{(m + n)(m - n)}}{{2.2}} = \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}\end{array}$

Biến đổi biểu thức A, ta được:

$\begin{array}{l}A = {a^3} + {b^3}\\ = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})\\ = (a + b)\left[ {({a^2} - 2ab + {b^2}) + ab} \right]\\ = (a + b)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]\end{array}$

Thay $a + b = m;a - b = n,ab = \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}$ vào A, ta có:

$\begin{array}{l}A = m\left( {{n^2} + \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}} \right)\\ = \frac{{4m{n^2}}}{4} + \frac{{{m^3}}}{4} - \frac{{m{n^2}}}{4}\\ = \frac{{3m{n^2}}}{4} + \frac{{{m^3}}}{4}\\ = \frac{1}{4}m\left( {3{n^2} + {m^2}} \right)\end{array}$

Câu 16 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${x^{4\;}} + {x^3}y - x{y^{3\;}} - {y^4}$

A
$\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)$ .
B
$\left( {x - y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)$ .
C
$\left( {x + y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)$ .
D
$\left( {x + y} \right)\left( {{x^3} - {y^3}} \right)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức:

${A^2} - {B^2} = (A + B)(A - B)$ ;

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ để phân tích đa thức.

Lời giải chi tiết :

Theo đề ra ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{x^{4\;}} + {x^3}y - x{y^{3\;}} - {y^4}}\\{ = {x^{4\;}} - {y^{4\;}} + {x^3}y - x{y^3}}\\{ = \left( {{x^{2\;}} - {y^2}} \right)\left( {{x^{2\;}} + {y^2}} \right) + xy\left( {{x^{2\;}} - {y^2}} \right)}\\{ = \left( {{x^{2\;}} - {y^2}} \right)\left( {{x^{2\;}} + {y^{2\;}} + xy} \right)}\\{ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{x^{2\;}} + xy + {y^2}} \right)}\\{ = \left( {x + y} \right)\left( {{x^{3\;}} - {y^3}} \right)}\end{array}$

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức ${\left( {x - y} \right)^{3\;}} + \left( {x - y} \right)({x^{2\;}} + xy + {y^2}) + 3({x^2}y - x{y^2})$

A
${x^3} - {y^3}$ .
B
${x^3} + {y^3}$ .
C
$2{x^3} - 2{y^3}$ .
D
$2{x^3} + 2{y^3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức:

${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$ ;

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - y} \right)}^{3\;}} + \left( {x - y} \right)({x^{2\;}} + xy + {y^2}) + 3({x^2}y - x{y^2})}\\{ = {x^{3\;}} - 3{x^2}y + 3x{y^{2\;}} - {y^{3\;}} + {x^{3\;}} - {y^{3\;}} + 3{x^2}y - 3x{y^2}}\\{ = 2{x^{3\;}} - 2{y^3}}\end{array}$

Câu 18 :

Cho $x,y,a$ và $b$ thỏa mãn các đẳng thức: $x - y = a - b\,\,\,(1)$ và ${x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}\,\,\,(2)$ . Biểu thức ${x^3} - {y^3} = ?$

A
$(a - b)({a^2} + {b^2})$ .
B
${a^3} - {b^3}$ .
C
${(a - b)^3}$ .
D
${(a - b)^2}({a^2} + {b^2})$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức

${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ để có được đẳng thức

$xy = ab$ ; từ đó áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}x - y = a - b \Rightarrow {(x - y)^2} = {(a - b)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\end{array}$

Từ (2) ta có: ${x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow - 2xy = - 2ab \Leftrightarrow xy = ab$

Mặt khác:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = (x - y)({x^2} + xy + {y^2})\\{a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})\end{array} \right.$ .

Vì $x - y = a - b;{x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}$ và $xy = ab$ nên ${x^3} - {y^3} = {a^3} - {b^3}$

Câu 19 :

Với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì giá trị của biểu thức ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc$ là:

A
$0$ .
B
$1$ .
C
$- 3abc$ .
D
${a^3} + {b^3} + {c^3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức:

${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3};{A^3} + {B^3} = (A + B)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$ để phân tích biểu thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\\ = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) + {c^3} - 3abc\\ = {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a + b + c)\\ = (a + b + c)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - (a + b)c + {c^2}} \right] - 3ab(a + b + c)\\ = (a + b + c)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} - ac - bc + {c^2} - 3ab} \right)\\ = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc)\end{array}$

Vì a + b + c = 0 => ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$ .

* Như vậy, với a + b + c = 0, ta có: ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ .

Chú ý

Đẳng thức ${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = \;\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - bc - ac} \right)$ có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả.

Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng.

Câu 20 :

Viết biểu thức sau dưới dạng tích: $A = {(3 - x)^3} + {(x - y)^3} + {(y - 3)^3}$

A
$A = 3$ .
B
$A = (3 - x)(x - y)(y - 3)$ .
C
$A = 6(3 - x)(x - y)(y - 3)$ .
D
$A = 3(3 - x)(x - y)(y - 3)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng đẳng thức đặc biệt

${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = \;\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - bc - ac} \right)$ ;

Ta thấy a + b + c = 0 nên ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ .

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;{(a + b)^3}\; = {a^3}\; + 3{a^2}b + 3a{b^2}\; + {b^3}\; = {a^3}\; + {b^3}\; + 3ab\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow {a^3}\; + {b^3}\; = {\left( {a + b} \right)^3}\;-3ab\left( {a + b} \right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{c}\;B = {a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\;-3abc\;\\ = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) + {c^3} - 3abc\\ = {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a + b + c)\end{array}$

Tương tự, ta có ${(a + b + c)^3} - 3(a + b)c(a + b + c)$

$\Rightarrow B = {(a + b + c)^3} - 3(a + b)c(a + b + c) - 3ab(a + b + c)$

Mà $\;a + b + c = 0$ nên $\;B = 0 - 3(a + b)c.0 - 3ab.0 = 0$

Bài liên quan

Trắc nghiệm Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 Kết nối tri thức

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 7: Lập phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 Kết nối tri thức

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Lập phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 Kết nối tri thức

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Trắc nghiệm Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương Toán 8 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Bài 7: Lập phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 Kết nối tri thức