Giải bài 2 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \sin \left( {{{50}^0} - x} \right)$;

b) $8{\sin ^3}x + 1 = 0$;

c) $\left( {\sin x + 3} \right)\left( {\cot x - 1} \right) = 0$;

d) $\tan \left( {x - {{30}^0}} \right) - \cot {50^0} = 0$.

Lời giải chi tiết

a) $\cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \sin \left( {{{50}^0} - x} \right)$ $\Leftrightarrow \cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \cos \left[ {{{90}^0} - \left( {{{50}^0} - x} \right)} \right]$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + {10^0} = {40^0} + x + k{360^0}\\2x + {10^0} =  - \left( {{{40}^0} + x} \right) + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30^0} + k{360^0}\\x = \frac{{ - {{50}^0}}}{3} + k{120^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = {30^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{ - {{50}^0}}}{3} + k{120^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) $8{\sin ^3}x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow {\sin ^3}x = {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^3}$ $\Leftrightarrow \sin x = \frac{{ - 1}}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{{ - \pi }}{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \pi  - \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c) $\left( {\sin x + 3} \right)\left( {\cot x - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \cot x = 1$ (do $\sin x + 3 > 1$ với mọi số thực x)

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

d) $\tan \left( {x - {{30}^0}} \right) - \cot {50^0} = 0$ $\Leftrightarrow \tan \left( {x - {{30}^0}} \right) = \cot {50^0}$ $\Leftrightarrow \tan \left( {x - {{30}^0}} \right) = \tan {40^0}$

$\Leftrightarrow x - {30^0} = {40^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow x = {70^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = {70^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$